また、質問コメントをする際には、コメント欄で他の方が同じ質問をしていないのか確認するようお願います。

「出てきません」というのは、ブラウザ版でもぐるぐるマークになるといったことでしょうか。
もしその場合であれば、他コメント返信にも記載している、以下の対処を試してください。

・ブラウザアプリをプライベートモードやシークレットモードに切り替えて、新しいタブでブラウザ版Xを開き直す
・アドブロッカーを導入している場合は、アドブロッカーを無効にする
・ブラウザの履歴（キャッシュ、Cookie）を削除する ※全てのウェブサービスで再ログインが必要になります
・別のブラウザアプリ（Safari、Chromeなど）を使用する
・デバイスを再起動する

アカウントに「現在は使用していないメールアドレス」が登録されていることが、ログインできない問題の根本的な原因となりそうです。
この場合は、「外部リンク：Xヘルプセンター（自分のTwitterアカウントを復活させたい）」から、サポートにアカウント復旧を依頼するようにしてください。

プロフィールを変更した際に、急にログイン出来ない状況になってしまい、
｢ページの読み込みに失敗しました｣
という画面から切り替わりません。
プラウザからログインして、アカウント認証をしたいのですが、パスワードが分からず確認しようとしたところ、確認用のメールアドレスが現在使用していないメールアドレスであるため、確認することが出来ない状況になっております。

ご丁寧なコメントありがとうございます。
お役に立てたのであれば幸いです。

ブラウザ版Xでのログインに成功し、タイムラインなどが閲覧できるのであればアカウントロックは解除されているものと思います。

Xアプリのアップデート、Xアプリと端末の再起動を試してみて、もしそれでも改善しないのであればログアウトを選択して、アプリ版Xで再ログインできないか試してみてください。（筆者環境では再現に至っていないため、未検証の対処法になります）