追加情報です。
iOS14の頃に似たような問題が発生しており、当時はiPhoneの設定からiCloudの連絡先同期のオフ（iPhoneに残った連絡先情報は削除を選択）、再び連絡先同期をオンにし直すことで改善することがあったので、こちらを試すと良いかもしれません。

同期を解除するとデバイスから連絡先が消えますが、iOS16.1.1の実機で再同期後にiCloud連絡先が正常に復元され消失等はしないことを確認していますが、もしこちらを試す場合はバックアップを作成することをお勧めします。

Ryoさん、コメントありがとうございます。

一昨日はバッテリー消費が回復したので直ったか！と思ったのですが、昨日は元に戻ってしまいました。もしかして電源を落としたのがまずかったのかと、昨晩は電源を落とさず、WI-FIに接続されている状態でにずっと充電コードをつけたままにしておいたら、今朝はバッテリーの大量消費は止まっています。

電源を落とさずにおくと外部通信はいずれは止まるが、電源を落としてしまうとリセットされてまた外部通信がはじまってバッテリーが大量消費されてしまう、そんな印象があります。

ご報告まで。

コメントありがとうございます。
他にも「Siri」でも同様の問題が報告されているので、探すアプリに限らず「連絡先」を含め、外部通信が発生する可能性がある一部純正アプリ共通の問題なのかもしれません。
なにか続報が入り次第追ってお伝えします。

自分の場合は、「連絡先」が多量に通信しバッテリーを多く消耗する状況になってしまいました。先週の日曜日からです。「連絡先」アプリを削除してみたのですがなぜか状況は変わらず、システムサービスの中を調べてみると「書類と同期」が700MB近く通信していました。いったんiPhoneを出荷状態に戻し、PC(Windows11機）からバックアップ復元をしましたが、状況は変わらずです。

状況を共有させていただきました。

コメントありがとうございます。
リセットでも改善しなかったとのことなので、また何か別の対処法や続報が入り次第、追記等でお知らせいたします。

こちらを見つけるまで該当の情報がなくて不安でしたが、同じ状況の方がいると分かって少しホッとしました。