当該警告が表示されるのは、従来、端末とDNSサーバー間の通信が暗号化されていないためです。
解決法は、①Wi-Fi6(WPA3)対応のWi-Fiルーターを導入してWPA3(AES)を設定する、②VPNを設定する、③Encrypted DNS (over HTTPS)の設定を記述したプロファイルを各端末にインストールする、があります。ただし、②と③は排他的で、同時に使用することはできません。

コメントありがとうございます。

今回の不具合に関して筆者環境では再現に至ってないため検証できかねますが、私自身もWi-Fiが不安定（接続済みにも関わらずインターネット通信ができない）になった際、同じようにSSIDの変更で改善した経験があるので、同じように改善したのかもしれません。当記事をご覧頂いた方でSSIDを変更できる環境の方はぜひこちらも。

コメントありがとうございます。
Appleサポートとしては設定を見直すよう案内するのが限界なのかもしれませんね..。
当記事のコメント欄にてSSIDの名前を変更することで消えたとの投稿がありました。
もしSSIDの名前を変更できる環境であれば、こちらも試してみるのも良さそうです。